Πιθανότητες - Αναστασίου

Θέμα 1ο
Ο Γιάννης έχει στην τσέπη του 2 χαρτονομίσματα των 20 ευρώ και 1 χαρτονόμισμα των 10 ευρώ, ενώ η Μαρία 5 των 10 και 1 των 20. Ο Γιάννης χωρίς να κοιτάξει παίρνει ένα χαρτονόμισμα απο την τσέπη του και το τοποθετεί στην τσέπη της Μαρίας. Ποια είναι η πιθανότητα,όταν γνωρίζω οτι η Μαρία τράβηξε απο την τσέπη της 10 ευρώ, ο Γιάννης να της έδωσε 20 ευρώ;

Σχόλιο: Ο εξεταζόμενος πρέπει να καταλάβει οτι η άσκηση μιλάει για δεσμευμένη πιθανότητα "...όταν γνωρίζω οτι..." και να εφαρμόσει το Θεώρημα Bayes.

Θέμα 2ο
Οι εισερχόμενες κλήσεις σε ένα τηλεφωνικό κέντρο ακολουθούν την κατανομή Poisson. Αν η πιθανότητα στη διάρκεια ενός λεπτού να μην εισέλθει καμία κλήσει είναι τετραπλάσια της πιθανότητας να εισέλθουν τέσσερις κλήσεις , να βρείτε το ρυθμό άφιξης κλήσεων στο τηλεφωνικό κέντρο. Έπειτα να βρείτε την πιθανότητα σε ένα λεπτό να εισέλθουν δυο κλήσεις καθώς και σε ένα λεπτό να εισέλθουν το πολύ δυο κλήσεις.

Θέμα 3ο

Η συνεχής τ.μ Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας f(x)=x/5 +α για 0<=x<=2 και μηδέν αλλού.

α) Να βρείτε την τιμή του α

β) Αν Y=2x^2+x/3 να υπολογίσετε το Ε(Υ)


Θέμα 4ο

Ένας φοιτητής πάει διαβασμένος στις εξετάσεις με πιθανότητα 80% . Όταν πάει αδιάβαστος απαντάει σε μια ερώτηση σωστά με πιθανότητα 33%. Ποια είναι η πιθανότητα να ήταν διαβασμένος όταν γνωρίζουμε οτι απάντησε σωστά;

Θέμα 5ο
Οι εισερχόμενες κλήσεις σε ένα τηλεφωνικό κέντρο ακολουθούν την κατανομή Poisson. Αν η πιθανότητα στη διάρκεια ενός λεπτού να μην εισέλθει καμία κλήσει είναι 0,1 , να βρεθεί η πιθανότητα σε ένα λεπτό να εισήλθαν πέντεκλήσεις και σε ένα λεπτό να εισήλθαν τουλάχιστον τρείς κλήσεις.

Θέμα 6ο

Η συνεχής τ.μ Χ έχει συνάρτηση πιθανότητας f(x)=αx(1-x)  για 0<=x<=1 και μηδέν αλλού.
α) Να βρείτε την τιμή του α
β) Να βρείτε την πιθανότητα το x<=1/4